'99東大入試問題
東京凰籃学院教材から
証明方法
基本学習プログラム教材に全く同じ内容記載
三角関数と単位円の利用
a，bは実数でa2+b2≠0とする。変数θが連立不等式
asinθ+bcosθ≧0， acosθ−bsinθ≧0
をみたす範囲にあるとき，sinθの最大値を求めよ。
（東大文系/理系数学１）
座標平面の単位円上に異なる３点A(1，0)，B，Cをとり，α=∠AOB，β=∠AOCとおく。ただし，角度はOAから正の向きにはかるものとする。３点A，B，Cを，原点を中心に角度θ（0≦θ≦360°）だけ正の向きに回転させた点のx座標をそれぞれa(θ)，b(θ)，c(θ)とおく。
(１) α＝90°，β=120°のとき，a(θ)＞c(θ)＞b(θ)となるθの範囲を求めよ。
(２) 0°＜α＜β＜360°のとき， c (θ)＞b (θ)＞a (θ)となるθの範囲を求めよ。
（東大文系/理系数学２）
単位円と三角形
原点Oと点A(0，1)と点B(1，0)を頂点とする三角形OABを，その平面上で頂点Oのまわりに角θだけ回転したとき，頂点A，BはそれぞれA′，B′に移った，このとき，２直線AA′，BB′の交点の座標をθを用いて表せ。また，θが変動するとき，交点は△OABの外接円上を動くことを証明せよ。
（東大文系/理系数学３）
複素数の図示
実数x，yに対し，複素数
を考える。このとき，
が実数となるような点P(x，y) の存在範囲を座標平面上に図示せよ。
（東大文系/理系数学３）
α，β（β≠0）を複素数の定数とする。αが複素数平面の単位円(x2+y2=1)上にあるとき，
をみたす複素数zの存在範囲を求め，これを複素数平面上に図示せよ。なお，図示に当たっては解答用紙に以下の複素数平面を書き写し，この上に表示せよ。αやβの位置を特に表示することが必要なときは，おおむね下図の位置に記入すること。
はzの共役複素数とする。
（創作テスト講座２）
放物線上の点からの距離の最小
放物線y=x2上の点Pと，放物線
上の点Qに対して，線分PQの長さの最小値を求めよ。
（東大文系/理系数学２）
放物線C：y=x2上の点P(a，a2)（a＞0）における法線が再びCと交わる点をQとする。
(１) Qがy軸に最も近づいたときのaの値を求めよ。
(２) a=
のとき，Cと線分PQとで囲まれた部分の面積を求めよ。
（東大文系/理系数学夏）
正四面体上の経路
１辺の長さが１の正四面体ABCDの辺上を，いくつかの粒子が次の規則に従って毎秒1の速さで運動している。
規則１ 各粒子は辺の途中で向きを変えることはなく，ある頂点を出発した粒子はちょうど1秒後に別の頂点に達する。
規則２ 各粒子は頂点に達すると，その頂点を端点とする３辺のいずれかに，それぞれ確率
で進む。
規則３ 粒子同士は辺の途中で正面衝突しても互いにすり抜けてそのまま進むが，同一頂点に２個以上の粒子が同時に到達するとそれらは瞬時に合体し，以後は１個の粒子として運動する。
いま，ちょうど３個の粒子が存在し，それぞれ頂点A，B，Cに同時に達したところである。(n+0.1)秒後にちょうどk個の粒子が存在する確率をPk(n)とするとき，以下の問に答えよ。nは自然数とする。
(１) P1(1)，P2(1)，P3(1)を求めよ。
(２) ちょうどn秒後に粒子が３個から２個になる確率Q(n)を求めよ。
(３) P2(n)，P1(n)を求めよ。
（東大文系/理系数学冬）
独立試行の確率
nを正の整数とする。n枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り，次に，硬貨が残っていればそれらを同時に投げて表の出たものを取り去ることにする。
(１) 全部なくなる確率を求めよ。
(２) r枚残っている確率を求めよ。ただし，rは正の整数で，1≦r≦nとする。
（「n枚の硬貨」を「n個の辺」に読み替えればほぼ同様の計算。）
（東大文系/理系数学夏）
等比数列を利用したはさみうち，極限
数列{an}を，
とするとき，
を求めよ。
（東大文系/理系数学３）
a，bを実数の定数とし，|a|＜1とするとき，xn+1=axn+b (n=1，2，…) によって定める数列{xn}は n→∞ のとき収束することを証明し，その極限値を求めよ。
（東大文系/理系数学３）
，
で定められる数列｛xn｝は収束するか，発散するか。理由とともに答えよ。
（東大文系/理系数学１）
平面上に点P0(a0，b0)，P1(a1，b1)，……，Pn(an，bn)があって，
であるとする。ただし，a0=2，b0=1とする。
(１) 級数
が収束するためのp，qの条件と，このときの級数の和lを求めよ。
(２) p2+q2=
のとき，lの最大値，最小値を求めよ。
（東大文系/理系数学１）
文系第４問を参照ください。
動く円板
Rを隣り合う２辺の長さa，bが2a＞b＞aをみたす長方形とし，Aを次の性質(a)をもつ半径xの円とする。
(a) Rの内部にあって隣り合う２辺にだけ接する
(１) 性質(a)をもつ円で円Aに外接するものが４つ存在するために，円Aの半径xがみたすべき条件をa，bを用いて表せ。
(２) xが(１)の条件をみたすとき，円Aに外接する４つの円のうち２番目に大きい円をBとする。xが変化するとき，円Aと円Bの面積の和の最小値を求めよ。
（東大文系/理系数学２）
(１) AB=2，AD=4の長方形ABCDの２本の対角線の交点をEとする。点Eを通り，長方形ABCDに含まれるような円全体を考える。
これらの円の中心が作る図形の面積を求めよ。
(２) 定点Oを中心とする半径4の円をFとし，点Oからの距離が2の定点Hをとる。点Hを内部に含み，円Fに含まれるような円全体を考える。
これらの円の中心を(a，b)として，a，bのみたすべき条件を式で表せ。
（東大文系/理系数学冬）
二項係数の約数
nが相異なる素数p，qの積n=pqであるとき，(n−1) 個の数nCk（1≦k≦n−1）の最大公約数は1であることを示せ。
（東大文系/理系数学３）
自然数を 2r×(奇数) とおく
fはすべての自然数に対して定義された関数で次の性質をみたす。
（n=1，2，……）
（n=0，1，2，……）
すべての自然数m，nに対してf(mn)=f(m)f(n)が成り立つことを示せ。
（東大文系/理系数学２）
(１) 自然数qをq=2rp（rは0以上の整数，pは奇数）と表す。log2qが有理数のとき，pはどのような値をとりうるか。
(２) 自然数a，bに対して，
，
とおく。ただしk，lは整数で，α，βは0≦α＜1，0≦β＜1をみたすとする。α+βが有理数のとき，これはどのような値をとりうるか。
（東大文系/理系数学３）
[n !] による約数のカウント
nを正の整数とする。n!を10進法で表したとき，１の位から0が続けてm個並んでいるとき，関数f(n)の値をmとする。このとき，すべての正の整数nについて
であることを示せ。
（東大文系/理系数学１）
その他二項係数関係の計算問題を多数学習済み
（最終的に e3.14 を見積もる必要あり）
部分積分
を求めよ。
（基本学習プログラム）
グラフを近似値に応用
e0.01の近似値を求めよ。
（基本学習プログラム）
の近似値として2.005をとるとき，誤差の絶対値は0.000025以下であることを示せ。
（東大文系/理系数学１）
ある区間において関数f(x)は微分可能で
＜1であり，かつ方程式x=f(x)が実根をもつものとする。このとき，αをその区間内の実根の近似値とすれば，β=f(α)はαよりよい近似値となることを証明せよ。
（東大文系/理系数学１）
f(x)は閉区間[a，b]で常にf ''(x)＞0であるような関数とする。
(i) ３数f(b)−f(a)，(b−a) f '(a)，(b−a) f ' (b)の大小を比較せよ。
(ii) 0≦c≦1のとき２数
f((1−c) a + cb )，(1−c) f(a) + c f(b)
の大小を比較せよ。
（東大文系/理系数学１）