'99東大入試数学解答例
（略解あり，ごく簡単なコメントつき）
文系第１問
(
１) x方向から反時計回りにはかって一般角θの方向を示す単位ベクトルのx成分，y成分をそれぞれcosθ，sinθとする。(
２) 単位ベクトルの集合として単位円をとる。単位円上の２点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)を原点中心に角度−βだけ回転させた点P'(cos(α−β)，sin(α−β))，およびQ'(1，0)について，PQ2=P'Q' 2とおいて， cos(α−β)= cosαcosβ+ sinαsinβを得る。βを−βとして，
cos(α+β)= cosαcosβ− sinαsinβこのαをα−
90°として，sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβこのβを−βとして，
sin(α−β)= sinαcosβ−cosαsinβ
（この証明は基本学習プログラムで学習済み。）
文系第２問
z=x+yiについて，m，nを整数として x=m/2……(1)，
……(2)，
……(3)とおける。
(1)からxは0.5の整数倍，(2)より，n≠0のとき，
，これは半径
の円であり，これが(3)の領域と共有点をもつのはn=+−2，+−1のとき。
n=0のときはyは任意だが，(3)より|y|≧1。よってzの存在範囲は下図。
文系第３問
P(t
，t2)とおく。直線x=tとy=x−cの交点をR(t，t−c)，Pからy=x−cに下ろした垂線の足をHとして，PQが最短のとき，PQ=2PH=2
･
PR=
(答)
等号はt=1/2のとき成立。
（２分で解けます。）
文系第４問： 理系の第３問でP=1/2としてください。
理系第１問： 文系第１問参照。
理系第２問
(
１) 3+4i=wとおいて，
より，
よって
， 
より，
(
２) 区間
をTnとすると，これらに重複部分はない。よって，
とおくと，
n
≦f(r)≦n+1，nlog5−2log2≦logr＜(n+1)log5−2log2よって
両辺ともに
1/log5に収束するから，
(答)
理系第３問
(
１) 各線はそれぞれ(1−p)の確率で壊れている。AからBに電流を流せないのは次の場合。ア
AB，DB，CBすべて切断……(1−p)3イ
CBは接続，DBが切れているとき，AB，ACはともに切断，AD，DCの少なくとも一方は切断……p(1−p) (1−p) (1−p) (1−p2)
ウ
CBは切断，DBは接続……イに同じエ
CB，DBともに接続しているとき， AB，AC，ADすべて切断……p2(1−p)3以上を足して，
1から引くと，
(答)
(
２)
（題意がとりにくい。「AB間に電池をつないで，無事に電流が流れる確率」と説明すればわかりやすい。）
理系第４問
対称性から，
Bは領域0≦z≦
に含まれるとし，共有点Pをx軸上の0≦x≦1の部分に限定してよい。（∵もし両円板がともにx軸をまたいでいたとすると，大きくないほうの円板を共有点Pのまわりに回転させてx軸と接するようにすれば半径を現状以上にすることができる）
P(t，0)，（0≦t≦1）として，Aの半径の最大値は
，Bの半径の最大値r2は図より，
，
よって
，
(答)
理系第５問
(
１) 自然数nがもつ因数2の個数をN(n)で表す。 
また，
，
（
，同様に，
よって
mCnにおいて，分子のほうが分母より多く因数2を含む。よってmCnは偶数 (終)
(
２) mC1が奇数なのでmは奇数。そこで， 
，
，
とおくと，
，
なので，
，
，
題意より
でなければならない。いま，
とすると，
で，一般に，
となり不適。よって，
。これは
のときに限られる。このとき，
，
逆に
mがこの値のとき，m+1Cn=mCn+mCn−1において，左辺は偶数，mC0が奇数なので帰納的に一般のnでもmCnは奇数となる。（k=1，2，……） (答)
（ちょっとかわった解き方をしてみました）
理系第６問
与式を
Lとして， 
，ここで
とおいて計算すると，
よって
，
x=3における
の傾きはe3で，この付近で
は下に凸なので，
