'99東大入試問題

　水平な机の上に置かれた台の内側に，半径Rの半円形のレールがとりつけられている（図1−1）。机上の一点Oを原点として水平のx軸をとり，レールの中心Cのx座標が原点に一致するように台を置いた。まず，台を机に固定したまま，図1−1のように小球をレールの最下点Pから+x方向にLだけ離れたレール上の点Qに一旦静止させる。その後小球はレール上を摩擦を受けることなく運動するものとして，以下の設問に答えよ。ただし小球の質量をm₁，レールを含んだ台の質量をm₂，重力加速度の大きさをgとする。また，LはRに比べて十分小さいものとする。必要であればθ[rad]が十分小さいときの近似公式cosθ≒1，sinθ≒θ，を用いても良い。

�T　台を机に固定したままで，小球を静かに離したところ単振動を始めた。小球のx座標をx₁，x軸方向の加速度をa₁とする。

(１)　小球のx軸方向の運動方程式を求めよ。

(２)　この単振動の周期を求めよ。

�U　図1−1の状態に戻し，今度は，台が机に対して摩擦を受けることなく動けるようにした。その上で小球を点Qから静かに放したところ，小球はやはり単振動を始めた。図1−2のように小球と点Pのx座標をそれぞれx₁，x₂，小球と台のx軸方向の加速度をそれぞれa₁，a₂とする。

(１)　小球と台に働く力の関係から，a₁とa₂の間に成り立つ関係式を求めよ。

(２)　小球と台を合わせた系に対してはx軸方向には外からの力は働かないので，系の重心のx座標は変化しない。このことから，x₁とx₂の間に成り立つ関係式を求めよ。

　下図のように，半径lの半円状の円筒形の窪みがある質量Mの台を水平面上に置き，これに質量mの質点を載せて運動させる。摩擦はすべて無視し，台と質点はともに円筒の軸に垂直な鉛直面内でのみ運動するとして，以下の問に答えよ。重力加速度をgとする。

（創作テスト講座３学期）

　相対運動の運動方程式。完全的中だが，入試問題のほうは誘導がついて，かなり解きやすくなっている。